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待证函数：

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

定义函数：

f(θ)=eiθ(cos⁡θ+isin⁡θ)f(\theta) = e^{i\theta} (\cos\theta + i\sin\theta)

计算导数：

f′(θ)=ieiθ(cos⁡θ+isin⁡θ)−eiθ(−sin⁡θ+icos⁡θ)f'(\theta) = i e^{i\theta} (\cos\theta + i\sin\theta) - e^{i\theta} \left(-\sin\theta + i\cos\theta\right)

简化f′(θ)f'(\theta)：

=ieiθcos⁡θ−eiθsin⁡θ+eiθsin⁡θ−eiθicos⁡θ= i e^{i\theta} \cos\theta - e^{i\theta} \sin\theta + e^{i\theta} \sin\theta - e^{i\theta} i \cos\theta

=0= 0

根据导数为零的性质，可以得出f(θ)f(\theta) 是一个常数：

f(θ)=常数f(\theta) = \text{常数}

计算常数值：

f(0)=ei⋅0(cos⁡0+isin⁡0)=1f(0) = e^{i \cdot 0} \left( \cos 0 + i\sin 0 \right) = 1

f(θ)=1f(\theta) = 1

eiθ(cos⁡θ+isin⁡θ)=1e^{i\theta} (\cos\theta + i\sin\theta) = 1

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta