射电望远镜整体链路对观测影响的分析

# 链路起始端 —— 天线

天线是链路的起始端，下面是天线对初始信噪比影响的分析，更具体的介绍可见于业余射电天文 —— 天线介绍

天线就像耳朵，会接收来自各个方向的信号，只是正对着耳朵的方向听起来比较清楚，背着耳朵的方向有些模糊。对于天线而言，是在聆听电磁波，而有温度的物体都会发出电磁波，温度越高，该物体辐射出的电磁波越强。

地面的温度约为 300K，天顶的温度约为 10K，地面到天顶之间大气的温度从 300K 渐变到 10K，也就是大地和大气都会发出电磁波，还有一些人为干扰的电磁波，这些都是底噪的来源。对于氢谱线来说，其等效温度可能约为 100K。

和耳朵类似，对准耳朵的声音，其加权值大，听起来的效果是（加权值 * 声音强度），天线听电磁波的声音也一样，听起来效果是（加权值 * 等效温度），对不同方向的加权值是不一样的。

所以最终的信噪比等于（对目标方向的加权值 * 目标的等效温度）/（加权值 2 * 物体 2 的等效温度 + 加权值 3 * 物体 3 的等效温度...）

对目标方向的加权值也就是天线的增益，显然增益越高，天线接收电磁波得到的初始信噪比越高。

# 低噪放的作用

接收机有最低信号强度的限制，即灵敏度，来自天体的信号本来就相当弱，如果不经过低噪放放大，可能达不到这个阈值，导致信号无法被成功接收和解调

注：接收机的灵敏度是指接收机能够成功接收到的最低信号强度（或功率），即在特定的信噪比（S/N）下，接收机能够有效解调和处理信号的能力。灵敏度通常以功率单位表示，常见单位是分贝毫瓦（dBm）或微瓦（µW），并且是反映接收机性能的重要指标。一般接收机的灵敏度会着频率的升高而下降。

同时高增益的低噪放还可以降低系统整体的噪声，具体的分析见于下面的内容

# 各器件噪声系数

列出业余常用 sdr 接收机噪声系数测量结果如下，@后面表示它们是在哪个频率被测量的，一般而言，随着频率的升高，噪声系数会的更差。

接收机	噪声系数
RTL-SDR	13.6dB-17.0dB@700MHz
HackRF	11.0dB@ 435MHz
Airspy	7.0/7.9dB@ 435MHz

高性能低噪放的噪声系数在 0.5-3dB 之间，低性能低噪放的噪声系数在 3-5dB 之间，噪声系数超过 5 dB 的 LNA 被视为较差或不适合，我们可以定义两个低噪放如下

低噪放	噪声系数	增益
高性能	1dB@1420MHz	40dB
低性能	5dB@1420MHz	20dB

# LNA + 接收机的噪声系数

# 噪声系数和级联噪声系数

在计算之前，简介以下噪声系数和级联噪声系数的计算，只套用这些公式就可以。噪声系数和级联噪声系数是射频（RF）工程和信号处理中的重要概念，用于评估放大器和接收系统的性能。以下是有关这两个概念的详细说明：

噪声系数 (Noise Figure, NF)
噪声系数是用于描述放大器或接收机在放大信号时引入的额外噪声量的参数。它以分贝（dB）为单位表示，通常比较输入信号的信噪比（SNR）和输出信号的信噪比。

• 公式：

  $$NF = 10 \log_{10} \left( \frac{SNR_{\text{in}}}{SNR_{\text{out}}} \right)$$

• 意义：

  • NF 较低的设备可在较低的信号强度下工作，更适合于微弱信号的接收。
  • 对于良好的低噪声放大器，噪声系数通常在 0.5 dB 到 3 dB 之间。

级联噪声系数 (Cascaded Noise Figure)
级联噪声系数是指在多个放大器或接收机级联连接的情况下，整个系统的噪声性能。其计算考虑了每个组件的噪声系数及其增益。

• 计算方法：
  对于一系列级联的放大器（$N$ 个），其整体噪声系数可以按以下公式计算：

$$NF_{total} = NF_1 + \frac{NF_2 - 1}{G_1} + \frac{NF_3 - 1}{G_1 G_2} + ... + \frac{NF_N - 1}{G_1 G_2 \ldots G_{N-1}}$$

其中：

• $NF_i$ 是第 $i$ 个放大器或接收机的噪声系数（以线性值形式）。
• $G_i$ 是第 $i$ 个放大器的增益（以线性值形式）。

# 低性能 LNA+RTL-SDR

低性能低噪放的增益为 20dB，噪声系数为 5dB，假设 RTL-SDR 接收机在 1420MHz 的噪声系数约为 15dB

要计算整个系统的噪声系数，我们可以使用以下公式：

$$NF_{\text{total}} = NF_1 + \frac{NF_2 - 1}{G_1}$$

其中：

• $NF_{\text{total}}$ 是整个系统的噪声系数
• $NF_1$ 是第一个放大器（低噪声放大器）的噪声系数
• $NF_2$ 是接收机的噪声系数
• $G_1$ 是第一个放大器的增益（以线性比例表示）

为了使用该公式，我们需要将 dB 值转换为线性值：

1. 将噪声系数和增益从 dB 转换为线性值：

   $$NF_1 = 10^{(5/10)} = 3.16 \quad (\text{低噪声放大器的噪声系数})$$

   $$NF_2 = 10^{(15/10)} = 31.62 \quad (\text{接收机的噪声系数})$$

   $$G_1 = 10^{(20/10)} = 100 \quad (\text{低噪声放大器的增益})$$

2. 将这些值代入公式：

   $$NF_{\text{total}} = 3.16 + \frac{31.62 - 1}{100}$$

   $$NF_{\text{total}} = 3.16 + \frac{30.62}{100}$$

   $$NF_{\text{total}} = 3.16 + 0.3062$$

   $$NF_{\text{total}} = 3.4662$$

3. 将噪声系数转换回 dB：

   $$NF_{\text{total (dB)}} = 10 \log_{10}(3.4662) \approx 10 \times 0.540 = 5.4 \, \text{dB}$$

整个系统的噪声系数约为 5.4 dB。

# 高性能 LNA+RTL-SDR

低性能低噪放的增益为 40dB，噪声系数为 1dB，RTL-SDR 接收机的噪声系数约为 15dB

1. 将噪声系数和增益从 dB 转换为线性值：

   $$NF_1 = 10^{(1/10)} \approx 1.2589$$

   $$NF_2 = 10^{(15/10)} \approx 31.6228$$

   $$G_1 = 10^{(40/10)} \approx 10000$$

2. 将这些值代入公式：

   $$NF_{\text{total}} = NF_1 + \frac{NF_2 - 1}{G_1}$$

   $$NF_{\text{total}} = 1.2589 + \frac{31.6228 - 1}{10000}$$

   $$NF_{\text{total}} = 1.2589 + \frac{30.6228}{10000}$$

   $$NF_{\text{total}} = 1.2589 + 0.00306228$$

   $$NF_{\text{total}} = 1.26196228$$

3. 将噪声系数转换回 dB：

   $$NF_{\text{total (dB)}} = 10 \log_{10}(1.26196228) \approx 10 \times 0.1017 \approx 1.017 \, \text{dB}$$

整个系统的噪声系数约为 1.02 dB。

# 不同链路下同样观测的效果所需的时间

关于观测时长提高信噪比的直观解释见于：Sdrsharp 的 IF-Average 插件以及大致原理

上面两种链路的差值为 5.4dB-1.02dB=4.4dB，转为倍数约为 3 倍，即在相同观测条件下，高性能 LNA+RTL-SDR 链路的信噪比是低性能 LNA+RTL-SDR 链路的 3 倍。

观测时的信噪比和积分时长的平方根成正比，即低性能 LNA+RTL-SDR 链路想达到和高性能 LNA+RTL-SDR 链路一样的观测效果，需要 9 倍的观测时长。

假设在 IF-Average 中，高性能 LNA+RTL-SDR 链路积分 1000 次就能看清楚氢谱线，那么性能 LNA+RTL-SDR 链路需要积分 9000 次。

在计算过程中各种假设已经相当理想了，实际情况只会更糟。